Какъв формат се запазват фаиловете с фон, за да може да се използват по-късно?

Зависи за какво са ти, ако ще са за уеб страници и правиш малко, запази ги в PSD. Ако ще правиш голяма колекция от фонове, то тогава PNG с високо качество. Ако пък колекцията ще е огромна, то тогава JPG 

Как да превърнем фона в стил, които програмата да ни показва Styles панела?

Селектираме едно парче от фона което ще изглежда добре при повтаряне и даваме Edit / Define Pattern. След това може да го сложим в стиловете. Ако искаш да си направиш библиотека със собствени 'patterns'  (добра идея е), то можеш да ги запишеш през Edit / Preset / Preset Manager във външен файл

Със сигурност е така,