Има ли възможност CSS стил зададен за index.html файла, който е начална страница на сайта който правим от html станички да се наследява и от страниците на целият сайт, в които се влиза от началната страница, както това става с фавикона? 

Използването на едни и същи стилове консистентно на всички страници на един сайт е добра практика. За съжаление това няма как да стане, както с favicon. Тук опциите са две - стиловете да са във външен css файл и да се слага линк към него в head на всяка страница или сайтът да се напише като single page application (нужен е и малко javascript за целта). Тогава стиловете може и да са inline без проблем.